مختبر النهاياتاستوديو الانقطاع
تجربة رياضية تفاعلية

النهايات · الاتصال · شكل الدالة

غيّر شكل المنحنى.
وافهم ما يحدث عند a.

اختر مثالًا رياضيًا، ثم عدّل معاملاته أو اسحب نقاط الرسم. الصيغة والنهايات تتحدّثان مباشرةً.

الرسم الحي

الدالة حول النقطة a

انقطاع قفزي
رسم بياني تفاعلي
اسحب الدوائر على الرسم لتعديل المنحنى
نهاية الفرع قيمة f(a) موضع a

Piecewise Functions

الدوال متعددة التعريف

دالة واحدة، لكن قاعدتها تتبدّل بحسب المجال. اختر موقفًا واقعيًا وطبّقه على الرسم أعلاه.

أمثلة تطبيقية
01 · التجارة والتوصيل

الشحن المجاني بعد حدّ السلة

x قيمة السلة بوحدات 20 دولارًا؛ عندما تبلغ 60 دولارًا (أي x = 3) تصبح رسوم الشحن صفرًا.

S(x) ={ 5إذا  0 ≤ x < 30إذا  x ≥ 3
02 · أجرة الرحلات

أجرة سيارة الأجرة بمعدّلين

أجرة بدء مقدارها 2، ثم وحدة لكل كيلومتر حتى d = 2، وبعدها نصف وحدة لكل كيلومتر إضافي.

T(d) ={ 2 + dإذا  0 ≤ d ≤ 24 + 0.5(d − 2)إذا  d > 2
03 · الدخل والضرائب

ضريبة تصاعدية على شريحتين

الدخل والضريبة بوحدات 10,000 من العملة؛ يُطبّق المعدل الأعلى على الجزء الذي يتجاوز الحد فقط.

P(x) ={ 0.1xإذا  0 ≤ x ≤ 20.2 + 0.2(x − 2)إذا  x > 2

تدرّب على النهايات

أسئلة تدريبية

أوجد النهايتين من اليسار واليمين، ثم قارن النتيجة بقيمة الدالة لتحديد الاتصال.

01

دالة متعددة التعريف بثلاث قواعد

f(x) ={ x + 1x < 25x = 22xx > 2

أجب عن الأسئلة الآتية:

  1. أوجد النهاية من اليسار: lim x→2⁻ f(x)
  2. أوجد النهاية من اليمين: lim x→2⁺ f(x)
  3. أوجد قيمة الدالة: f(2)
  4. هل هي متصلة عند: x = 2؟
إظهار الحل والتفسير

من اليسار نستخدم x + 1، فتكون النهاية 3. ومن اليمين نستخدم 2x، فتكون النهاية 4.

f(2) = 5. الدالة غير متصلة عند 2 لأن النهايتين الجانبيتين مختلفتان.

02

ثقب قابل للإزالة

g(x) ={ (x2 − 1)/(x − 1)x ≠ 10x = 1

أجب عن الأسئلة الآتية:

  1. أوجد النهاية من اليسار: lim x→1⁻ g(x)
  2. أوجد النهاية من اليمين: lim x→1⁺ g(x)
  3. أوجد قيمة الدالة: g(1)
  4. هل هي متصلة عند: x = 1؟
إظهار الحل والتفسير

نبسّط الكسر إلى x + 1 عندما x ≠ 1، لذا النهايتان من اليسار واليمين تساويان 2.

g(1) = 0. الدالة غير متصلة عند 1؛ فهذا انقطاع قابل للإزالة لأن النهاية موجودة وتختلف عن قيمة الدالة.

03

اختبر الاتصال عند نقطة الفصل

h(x) ={ x + 2x < 0x2 + 2x ≥ 0

أجب عن الأسئلة الآتية:

  1. أوجد النهاية من اليسار: lim x→0⁻ h(x)
  2. أوجد النهاية من اليمين: lim x→0⁺ h(x)
  3. أوجد قيمة الدالة: h(0)
  4. هل هي متصلة عند: x = 0؟
إظهار الحل والتفسير

من اليسار: x + 2 → 2. ومن اليمين: x2 + 2 → 2.

h(0) = 2، ولذلك النهايتان متساويتان وتساويان قيمة الدالة؛ فهي متصلة عند 0.

04

سلوك الدالة قرب مقارب رأسي

p(x) ={ 1/(x − 3)x ≠ 30x = 3

أجب عن الأسئلة الآتية:

  1. أوجد النهاية من اليسار: lim x→3⁻ p(x)
  2. أوجد النهاية من اليمين: lim x→3⁺ p(x)
  3. أوجد قيمة الدالة: p(3)
  4. هل هي متصلة عند: x = 3؟
إظهار الحل والتفسير

عندما يقترب x من 3 من اليسار، يقترب المقام من الصفر بقيم سالبة، لذا النهاية −∞. ومن اليمين تكون +∞.

p(3) = 0، لكن لا توجد نهاية ثنائية منتهية؛ عند x = 3 مقارب رأسي وانقطاع لانهائي.